積分　sec^2x

$3$\displaystyle{\int { \sec }^{2}xdx }$

$3$\displaystyle{\tan x}$ の微分(参照)を考えると

$3$\displaystyle{{ $ \tan x $ }^{\prime }=\frac{\hspace{2} { \cos }^{2}x+{ \sin }^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$

ここで

$3$\displaystyle{\sec x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}}$

なので， $3$\displaystyle{\tan x}$ の微分(参照)は以下のようになる．

$3$\displaystyle{{ $ \tan x $ }^{\prime }={\sec }^{2}x}$

積分はこの逆の操作をすることなので， $3$\displaystyle{{\sec }^{2}x}$ を積分すると $3$\displaystyle{ \tan x }$ になるのである．これを利用すると

$3$\displaystyle{\int { \sec }^{2}xdx =\tan x+C}$

となる．

● $3$\displaystyle{ \tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=1 }$ とおく置換積分で計算する方法

$3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt}$ 　　･･････(1)

$3$\displaystyle{\cos x=\frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}}$ 　　･･････(2)

(1)，(2)についてはここを参照

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int { \sec }^{2}xdx }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}} }\right) }^{2} \hspace{2}}\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt }}$ $3$\displaystyle{=2\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- {t}^{2} }\right) }^{2} \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- {t}^{2} }\right) }^{2} \hspace{2}} }$ を部分分数に分解する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- {t}^{2} }\right) }^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- t }\right) }^{2}{ \left({ 1+t }\right) }^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} 1- t \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- t }\right) }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}C\hspace{2}}{\hspace{2} 1+t \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1+t }\right) }^{2} \hspace{2}}}$ 　･････(3)

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} 1- t \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- t }\right) }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}C\hspace{2}}{\hspace{2} 1+t \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1+t }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A\left({ 1- t }\right){ \left({ 1+t }\right) }^{2}+B{ \left({ 1+t }\right) }^{2}+C\left({ 1+t }\right){ \left({ 1- t }\right) }^{2}+D{ \left({ 1- t }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- t }\right) }^{2}{ \left({ 1+t }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left({ C- A }\right){t}^{3}+\left({ B- A+D- C }\right){t}^{2}+\left({ A+2B- C- 2D }\right)t+A+B+C+D \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- t }\right) }^{2}{ \left({ 1+t }\right) }^{2} \hspace{2}}}$ 　･･････(4)

(3)，(4)の分子の係数を比較することにより

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}C- A=0& \vspace{6}\\ B- A+D- C=1& \vspace{6}\\ A+2B- C- 2D=0& \vspace{6}\\ A+B+C+D=0& \vspace{6}\\ \end{array}}$

が得られる．この連立方程式を解くことにより

$3$\displaystyle{A=0}$ ， $3$\displaystyle{B=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{C=0}$ ， $3$\displaystyle{D=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．したがって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- {t}^{2} }\right) }^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- t }\right) }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1+t }\right) }^{2} \hspace{2}} }\right}}$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{=2\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- t }\right) }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1+t }\right) }^{2} \hspace{2}} }\right}dt }}$

ここを参考に積分する．

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1- t }\right) }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1+t }\right) }^{2} \hspace{2}} }\right}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- t \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+t \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}+C}$

変数を $3$t$ から $3$x$ に戻す．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- { \left({ \tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2} \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\frac{\hspace{2} \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- { \left({ \frac{\hspace{2} \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} }\right) }^{2} \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2}- { \left({ \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2} \hspace{2}}+C}$

2倍角の公式を適用する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\tan x+C}$

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学生スタッフ作成
最終更新日 2024年7月5日

積分 sec^2x

● とおく置換積分で計算する方法

積分　sec^2x

● $3$\displaystyle{ \tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=1 }$ とおく置換積分で計算する方法